Criou sua primeira banda, Exodus, em 1978. Depois, aos 15 anos, embalada pela onda punk que chegou à Islândia, Björk formou o grupo Tappi Tíkarrass, com o qual lançou dois álbuns. Três anos mais tarde se juntou à banda Kukl ("bruxaria"), que estreou com o disco "The Eye", de 1984. O segundo trabalho do grupo, "Holidays in Europe", lançado no ano seguinte, resultou em uma turnê pela Europa.

Após de uma série de shows, Björk fez uma pausa para o nascimento do filho Sindri, de seu relacionamento com o baixista da banda, Thor Eldon, em junho de 1986. Logo voltou aos palcos e mudou o nome da banda para The Sugarcube.